Hoe een apollonian pakking te maken: 10 stappen (met afbeeldingen)

Een apollonian pakking is een type fractal afbeelding die wordt gevormd uit een verzameling van steeds krimpende cirkels in een enkele grote cirkel. Elke cirkel in de Apollonian Pakking is raaklijn Aan de aangrenzende cirkels - met andere woorden, de cirkels in de Apollonian Pakking maken contact op oneindig kleine punten. Genoemd naar de Griekse wiskundige Apollonius van Perga, kan dit type fractal worden getrokken (met de hand of per computer) tot redelijke mate van complexiteit, die een mooi, opvallend beeld vormen. Zie stap 1 hieronder om aan de slag te gaan.

Stappen

Deel 1 van 2:

Begrijp sleutelconcepten

Om perfect duidelijk te zijn, als je gewoon geïnteresseerd bent in tekening Een apollonian pakking, het is niet essentieel om de wiskundige principes achter de fractal te onderzoeken. Als u echter een dieper begrip van Apollonian-pakkingen wilt, is het echter belangrijk om de definities van verschillende concepten te begrijpen die we zullen gebruiken bij het bespreken van hen.

1. Definieer de belangrijkste termen. De volgende voorwaarden worden gebruikt in de onderstaande instructies:

Apollonian Pakking: een van de verschillende namen voor een soort fractal bestaande uit een reeks cirkels genest in één grote cirkel en tangens aan alle anderen in de buurt. Deze worden ook genoemd "SODDY CIRCLES" of "Kussende cirkels".
Stradius van een cirkel: de afstand van het middenpunt van een cirkel naar zijn rand. Meestal toegewezen aan de variabele r.
Kromming van een cirkel: het positieve of negatieve inverse van de radius, of ± 1 / r. Krommatuur is positief bij het omgaan met de buitenkromming van de cirkel en negatief voor de innerlijke kromming.
Tangent: een term die wordt toegepast op lijnen, vliegtuigen en vormen die in één oneindig klein punt kruisen. In Apollonian-pakkingen verwijst dit naar het feit dat elke cirkel elke nabijgelegen cirkel op slechts één punt raakt. Merk op dat er geen kruising is - Tangent-vormen overlappen elkaar niet.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 2

2. Begrijp Descartes`s theorem.Descartes`s theorem is een formule die handig is voor het berekenen van de maten van de cirkels in een apollonian pakking. Als we de krommingen (1 / r) van drie kringen definiëren als een, b, en c, respectievelijk stelt de stelling dat de kromming van de cirkel (of cirkels) Tangent aan alle drie, die we zullen definiëren als d, is: D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)).

Voor onze doeleinden gebruiken we over het algemeen alleen het antwoord dat we krijgen door een plusteken voor de vierkantswortel te plaatsen (met andere woorden, ... + 2 (SQRT (...)). Voorlopig is het genoeg om te weten dat de aftrekvorm van de vergelijking zijn toepassingen heeft in andere verwante taken.

Deel 2 van 2:

De Apollonian-pakking construeren

Apollonian pakkingen nemen de vorm aan van mooie fractale arrangementen van krimpende cirkels. Wiskundige, Apollonian-pakkingen hebben oneindige complexiteit, maar of u nu een computertekeningprogramma of traditionele tekengereedschappen gebruikt, u uiteindelijk een punt bereikt waarin het onmogelijk is om cirkels kleiner te maken. Merk op dat hoe meer juist je cirkels tekent, hoe meer je in je pakking kunt passen.

1. Verzamel uw digitale of analoge tekengereedschap. In de onderstaande stappen maken we onze eigen eenvoudige Apollonian-pakking. Het is mogelijk om Apollonian-pakkingen met de hand of op de computer te tekenen. In beide gevallen wil je in staat zijn om perfect ronde cirkels te tekenen. Dit is vrij belangrijk. Aangezien elke cirkel in een Apollonian-pakking perfect aan de cirkels naast het is, kunnen cirkels die zelfs iets misvormd zijn "afwerpen" Je eindproduct.

Als u de pakking op een computer tilt, hebt u een programma nodig waarmee u gemakkelijk cirkels van een vaste straal vanaf een centraal punt kunt tekenen. Gfig, een vector-tekening extensie voor het gratis beeldbewerkingsprogramma GIMP, kan worden gebruikt, evenals een breed scala aan andere tekenprogramma`s (zie de sectie Materialen voor relevante links). U hebt waarschijnlijk ook een calculator-applicatie nodig en een Word-processor-document of een fysieke notitieblok voor het maken van aantekeningen over krommingen en radii.
Voor het met de hand tekenen, heb je een rekenmachine nodig (Wetenschappelijk of Grafieken gesuggereerd), een potlood, kompas, liniaal (bij voorkeur een schaal met millimetermarkeringen, grafiekpapier en een notitieblok.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 4

2. Begin met een grote cirkel. Je eerste taak is eenvoudig - teken gewoon een grote, perfect ronde cirkel. Hoe groter de cirkel is, hoe complexer uw pakking kan zijn, dus probeer een cirkel zo groot te maken als uw paper toestaat of zo groot als u eenvoudig in één venster op uw tekenprogramma kunt zien.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 5

3. Maak een kleinere cirkel in het origineel, raak aan één kant. Teken vervolgens een andere cirkel in de eerste die kleiner is dan het origineel, maar nog steeds redelijk groot. De exacte grootte van de tweede cirkel is aan u - er is geen correcte maat. Laten we echter voor onze doeleinden onze tweede cirkel tekenen zodat het precies halverwege onze grote buitencirkel bereikt. Met andere woorden, laten we onze tweede cirkel tekenen, zodat het centrale punt het middelpunt is van de straal van de grote cirkel.

Denk eraan dat in Apollonian-pakkingen alle kringen die aanraken aan elkaar raakten. Als u een kompas gebruikt om uw cirkels met de hand te tekenen, maakt u dit effect opnieuw door het scherpe punt van het kompas te plaatsen in het middelpunt van de straal van de grote buitencirkel, het aanpassen van uw potlood zo alleen maar Raakt de rand van de grote cirkel aan en teken vervolgens je kleinere binnencirkel.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 6

4. Teken een identieke cirkel "tegenover" de kleinere binnencirkel. Laten we een andere cirkel tegenover onze eerste tekenen. Deze cirkel moet zich tangend zijn aan zowel de grote buitenste cirkel en de kleinere binnencirkel, wat betekent dat uw twee binnencirkels op het exacte middelpunt van de grote buitencirkel zullen aanraken.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 7

5. Breng Descartes`s theorem aan om de grootte van je volgende cirkels te vinden. Laten we stoppen met tekenen voor een moment. Nu we drie cirkels in onze pakking hebben, kunnen we de stelling van Descartes gebruiken om de straal van de volgende cirkel te vinden die we zullen tekenen. Vergeet niet dat de stelling van Descartes is D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)), Waar A, B, en C de krommingen zijn van uw drie tangens-kringen en D is de kromming van de cirkel tangens aan alle drie. Dus, om de straal van onze volgende cirkel te vinden, laten we de kromming van elk van de cirkels vinden die we tot nu toe hebben, zodat we de kromming van de volgende cirkel kunnen vinden en deze vervolgens naar zijn straal converteren.

Laten we de straal van onze buitenste cirkel definiëren 1. Omdat de andere cirkels in deze zijn, behandelen we met zijn interieur kromming (in plaats van de buitenkromming), en bijgevolg weten we dat de kromming negatief is. - 1 / r = -1/1 = -1. De kromming van de grote cirkel is -1.

De radii van de kleinere cirkels zijn half zo groot als de grote cirkel, of, met andere woorden, 1/2. Omdat deze cirkels elkaar en de grote cirkel met hun buitenrand raken, behandelen we met hun buitenkant kromming, dus hun krommingen zijn positief. 1 / (1/2) = 2. De krommingen van de kleinere cirkels zijn beide 2.

Nu weten we dat A = -1, B = 2, en C = 2 voor de stellingvergelijking van onze Descartes. Laten we oplossen voor D:

D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2))

D = -1 + 2 + 2 ± 0

D = -1 + 2 + 2

d = 3. De kromming van onze volgende cirkel is 3. Sinds 3 = 1 / R is de straal van onze volgende cirkel 1/3.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 8

6. Maak je volgende set cirkels. Gebruik de radiuswaarde die je net je volgende twee cirkels hebt laten tekenen. Vergeet niet dat deze de cirkels van de kringen die u hebt gebruikt voor A, B, en C in Descartes`s Theorem. Met andere woorden, ze zullen tangens zijn voor zowel de originele als de tweede cirkels. Voor deze cirkels om aan het raking te zijn aan alle drie de cirkels, moet je ze in de open ruimtes in de boven- en onderkant van het gebied in je grote originele cirkel tekenen.

Vergeet niet dat de radii van deze cirkels gelijk zijn aan 1/3. Meet 1/3 terug van de rand van de buitenste cirkel, teken vervolgens je nieuwe cirkel. Het moet aan de tangenen zijn aan alle drie de omliggende cirkels.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 9

7. Ga door op deze manier om door te gaan met het toevoegen van cirkels. Omdat ze fractals zijn, zijn apollonian pakkingen oneindig complex. Dit betekent dat u kleinere en kleinere cirkels kunt toevoegen aan de inhoud van uw hart. U bent beperkt, alleen de precisie van uw gereedschappen (of, als u een computer gebruikt, het vermogen van uw tekenprogramma voor "in zoomen"). Elke cirkel, ongeacht hoe klein, moet ertegenst zijn aan drie andere cirkels. Om elke volgende cirkel in uw pakking te tekenen, sluit u de krommingen van de drie cirkels aan die het aan de Descartes-stelling zal zijn. Gebruik vervolgens uw antwoord (wat de straal van uw nieuwe cirkel is) om uw nieuwe cirkel nauwkeurig te tekenen.

Merk op dat de pakking die we hebben gekozen om te tekenen symmetrisch is, dus de straal van één cirkel is hetzelfde als de bijbehorende cirkel "tegenover het". Weet echter dat niet elke Apollonian-pakking symmetrisch is.

Laten we nog een voorbeeld aanpakken. Laten we zeggen dat we na het tekenen van onze laatste set cirkels nu de cirkels willen tekenen die tangens zijn aan onze derde set, onze tweede set en onze grote buitencirkel. De krommingen van deze cirkels zijn respectievelijk 3, 2, en -1. Laten we deze cijfers aansluiten in Descartes`s Theorem, instellen A = -1, B = 2, en C = 3:

D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (1))

D = -1 + 2 + 3 ± 2

d = 2, 6. We hebben twee antwoorden! Omdat we echter weten dat onze nieuwe cirkel kleiner zal zijn dan een van de cirkels, is het tangens, alleen een kromming van 6 (en daarom een straal van 1/6) klinkt logisch.

Ons ander antwoord, 2, verwijst eigenlijk naar de hypothetische cirkel op de overkant van het tangent punt van onze tweede en derde cirkels. Deze cirkel is Tangent aan beide cirkels en aan de grote buitenste cirkel, maar het zou de kringen snijden die we al hebben getrokken, zodat we het kunnen negeren.

Titel afbeelding Maak een apollonian pakking stap 10

8. Probeer voor een uitdaging een niet-symmetrische Apollonian-pakking te maken door de grootte van uw tweede cirkel te wijzigen. Alle Apollonian-pakkingen beginnen hetzelfde - met een grote buitencirkel die fungeert als de rand van de fractal. Er is echter geen reden dat uw tweede cirkel noodzakelijkerwijs wel Om 1/2 de straal van de eerste te hebben - we hebben er gewoon voor gekozen om dit hierboven te doen, omdat het eenvoudig en gemakkelijk te begrijpen is. Probeer voor de lol een nieuwe pakking te starten met een tweede cirkel van een ander formaat - dit zal leiden tot spannende nieuwe wegen van verkenning.

Nadat je je tweede cirkel hebt getekend (ongeacht de grootte), moet je volgende handeling zijn om een of meer cirkels te tekenen die tangens zijn, zowel voor de grote buitenste cirkel - er is het ook niet goed. Hierna kunt u de stelling van Descartes gebruiken om de radii van eventuele daaropvolgende cirkels te bepalen, zoals hierboven weergegeven.

Tips

Deel in het sociale netwerk: