4 manieren om een term van een rekenkundige reeks te vinden

Een rekenkundige sequentie is elke lijst met cijfers die verschillen, van één tot de volgende, door een constant bedrag. Bijvoorbeeld de lijst met even nummers, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,24,6,8$ ... is een rekenkundige volgorde, omdat het verschil van het ene nummer in de lijst naar de volgende altijd 2 is. Als u weet dat u met een rekenkundige reeks werkt, wordt u mogelijk gevraagd om de volgende term uit een opgegeven lijst te vinden. Mogelijk wordt u ook gevraagd om een opening in te vullen waar een term ontbreekt. Ten slotte wilt u misschien weten, bijvoorbeeld de 100e-term, zonder daadwerkelijk alle 100 termen uit te schrijven. Een paar eenvoudige stappen kunnen u helpen om een van deze te doen.

Stappen

Methode 1 van 4:

Het vinden van de volgende term in een rekenkundige volgorde

1. Zoek het algemene verschil voor de reeks. Wanneer u wordt gepresenteerd met een lijst met nummers, kunt u worden verteld dat de lijst een rekenkundige volgorde is, of misschien moet u dat voor uzelf uitzoeken. De eerste stap is in beide gevallen hetzelfde. Selecteer de eerste twee opeenvolgende termen in de lijst. Trek de eerste termijn af van de tweede termijn. Het resultaat is het algemene verschil van uw reeks.

Stel bijvoorbeeld dat je de lijst hebt $1, 4, 7, 10, 13$ $1,47,10,13$ .... Aftrekken $4 - 1$ $4-1$ om het gewone verschil van 3 te vinden.
Stel dat u een lijst met termen hebt die afneemt, zoals $25, 21, 17, 13$ $25.21,17,13$ ... Je trekt nog steeds de eerste term uit de tweede om het verschil te vinden. In dit geval geeft dat je $21 - 25 = - 4$ $21-25 = -4$ . Het negatieve resultaat betekent dat uw lijst afneemt terwijl u van links naar rechts leest. Je moet altijd controleren of het teken van het verschil overeenkomt met de richting die de cijfers lijken te gaan.

Titel afbeelding Vind op elke term van een rekenkundige sequentie Stap 2

2. Controleer of het gemeenschappelijk verschil consistent is. Het gemeenschappelijk verschil vinden voor slechts de eerste twee termen zorgt ervoor dat uw lijst een rekenkundige volgorde is. Je moet ervoor zorgen dat het verschil consistent is voor de hele lijst. Controleer het verschil door twee verschillende opeenvolgende termen in de lijst af te trekken. Als het resultaat consistent is voor een of twee andere paren van de termen, dan heb je waarschijnlijk een rekenkundige reeks.

Werken met hetzelfde voorbeeld,

1, 4, 7, 10, 13

$1,47,10,13$ ... Kies de tweede en derde voorwaarden van de lijst. Aftrekken

7 - 4

$7-4$ , en je merkt dat het verschil nog steeds 3 is. Om te bevestigen, controleer dan nog een voorbeeld en aftrek

13 - 10

$13-10$ , en je merkt dat het verschil consequent 3 is. Je kunt er vrij zeker van zijn dat je met een rekenkundige volgorde werkt.

Het is mogelijk voor een lijst met cijfers om een rekenkundige sequentie te zijn op basis van de eerste paar termen, maar daarna falen daarna. Overweeg bijvoorbeeld de lijst

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... Het verschil tussen de eerste en tweede termen is 1, en het verschil tussen de tweede en derde termen is ook 1. Het verschil tussen de derde en vierde termen is echter 3. Omdat het verschil niet voor de hele lijst gebruikelijk is, dan is dit geen rekenkundige volgorde.

Titel afbeelding Zoek een term van een rekenkundige sequentie Stap 3

3. Voeg het gemeenschappelijk verschil toe aan de laatste gegeven termijn. Het vinden van de volgende looptijd van een rekenkundige sequentie nadat u weet, is het algemene verschil eenvoudig. Voeg eenvoudig het gewone verschil toe aan de laatste looptijd van de lijst, en u krijgt het volgende nummer.

Bijvoorbeeld in het voorbeeld van

1, 4, 7, 10, 13

$1,47,10,13$ ..., om het volgende nummer in de lijst te vinden, voegt u het gewone verschil van 3 toe aan de laatste gegeven termijn. Toevoeging

13 + 3

$13 + 3$ resulteert in 16, wat de volgende term is. U kunt doorgaan met toevoegen 3 om uw lijst te maken zolang u maar wilt. De lijst zou bijvoorbeeld zijn

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,47,10,13,16,19,22,25$ ... Je kunt dit doen zolang je maar wilt.

Methode 2 van 4:

Een ontbrekende interne term vinden

1. Controleer of u begint met een rekenkundige reeks. In sommige gevallen heeft u mogelijk een lijst met cijfers met een ontbrekende term in het midden. Begin, zoals eerder, door te controleren of uw lijst een rekenkundige volgorde is. Selecteer twee opeenvolgende termen en vind het verschil tussen hen. Controleer dit vervolgens tegen twee andere opeenvolgende termen in de lijst. Als de verschillen hetzelfde zijn, kunt u veronderstellen dat u met een rekenkundige reeks werkt en doorgaat.

Stel bijvoorbeeld dat je de lijst hebt $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12.16,20$ ... Begin met aftrokken $4 - 0$ $4-0$ Om een verschil van 4 te vinden. Controleer dit tegen twee andere opeenvolgende termen, zoals $16 - 12$ $16-12$ . Het verschil is opnieuw 4. U kunt doorgaan.

Titel afbeelding Vind een term van een rekenkundige sequentie Stap 5

2. Voeg het gemeenschappelijk verschil toe aan de term vóór de ruimte. Dit is vergelijkbaar met het toevoegen van een termijn aan het einde van een reeks. Zoek de term die onmiddellijk voorafgaat aan de ruimte in uw reeks. Dit is het "laatste" nummer dat je kent. Voeg uw gemeenschappelijk verschil toe aan deze term, om het nummer te vinden dat de ruimte moet invullen.

In ons werkvoorbeeld,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12.16,20$ ..., de term voorafgaand aan de ruimte is 4, en ons gemeenschappelijk verschil voor deze lijst is ook 4. Dus voeg toe

4 + 4

$4 + 4$ om 8 te krijgen, wat het nummer in de lege ruimte zou moeten zijn.

Titel afbeelding Vind een term van een rekenkundige sequentie Stap 6

3. Trek het gemeenschappelijk verschil af van de term na de ruimte. Om er zeker van te zijn dat u het juiste antwoord hebt, controleert u vanaf de andere richting. Een rekenkundige sequentie moet in beide richtingen consistent zijn. Als je van links naar rechts gaat en 4 toevoegen, ga dan in de tegenovergestelde richting, van rechts naar links, zou je het tegenovergestelde doen en aftrekken 4.

In het werkvoorbeeld,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12.16,20$ ..., de term onmiddellijk na de ruimte is 12. Trek het gemeenschappelijk verschil van 4 af van deze term om te vinden

12 - 4 = 8

$12-4 = 8$ . Het resultaat van 8 moet de lege ruimte invullen.

Titel afbeelding Zoek een term van een rekenkundige sequentie Stap 7

4. Vergelijk uw resultaten. De twee resultaten die je krijgt, van het toevoegen van de onderkant of van het aftrekken van de top van de top moet overeenkomen. Als ze dat doen, hebt u de waarde voor de ontbrekende term gevonden. Als ze dat niet doen, moet je je werk controleren. Je hebt misschien geen echte rekenkundige volgorde.

In het werkvoorbeeld, de twee resultaten van

4 + 4

$4 + 4$ en

12 - 4

$12-4$ Beide gaven de oplossing van 8. Daarom is de ontbrekende term in deze rekenkundige sequentie 8. De volledige reeks is

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,48,12,16,20$ ...

Methode 3 van 4:

Het vinden van de nde-termijn van een rekenkundige sequentie

1. Identificeer de eerste looptijd van de reeks. Niet elke sequentie begint met de nummers 0 of 1. Kijk naar de lijst met cijfers die je hebt en vind de eerste term. Dit is uw startpunt, dat kan worden aangewezen met behulp van variabelen als een (1).

Het is gebruikelijk bij het werken met rekenkundige sequenties om de variabele A (1) te gebruiken om de eerste looptijd van een reeks aan te wijzen. U kunt natuurlijk een variabele kiezen die u wilt, en de resultaten moeten hetzelfde zijn.
Bijvoorbeeld gezien de reeks $3, 8, 13, 18$ $3,813,18$ ..., de eerste term is $3$ $3$ , die algebraïsch kan worden aangewezen als een (1).

Titel afbeelding Vind een term van een rekenkundige sequentie Stap 9

2. Definieer uw gewone verschil als D. Zoek het algemene verschil voor de reeks zoals eerder. In dit werkvoorbeeld, het gemeenschappelijk verschil is

8 - 3

$8-3$ , wat 5 is. Controleren met andere termen in de reeks biedt hetzelfde resultaat. We zullen dit gemeenschappelijk verschil opmerken met de algebraïsche variabele D.

Titel afbeelding Vind op elke term van een rekenkundige sequentie Stap 10

3. Gebruik de expliciete formule. Een expliciete formule is een algebraïsche vergelijking die u kunt gebruiken om een term van een rekenkundige reeks te vinden, zonder de volledige lijst te hoeven schrijven. De expliciete formule voor een algebraïsche sequentie is

een (n) = een (1) + (n - 1) d

$A (N) = A (1) + (N-1) D$ .

De term A (n) kan worden gelezen als "de NTH-looptijd van A", waarbij n vertegenwoordigt welk nummer in de lijst die u wilt vinden en een (n) de werkelijke waarde van dat aantal is. Bijvoorbeeld, als u wordt gevraagd om het 100e item in een rekenkundige reeks te vinden, dan zal N 100 zijn. Merk op dat n 100 is, in dit voorbeeld, maar een (n) is de waarde van de 100e term, niet het nummer 100 zelf.

Titel afbeelding Vind een term van een rekenkundige sequentie Stap 11

4. Vul uw informatie in om het probleem op te lossen. Gebruik de expliciete formule voor uw reeks, vul de informatie in die u weet dat u de term vindt die u nodig hebt.

Bijvoorbeeld in het werkvoorbeeld

3, 8, 13, 18

$3,813,18$ ..., we weten dat A (1) de eerste term 3 is en het gemeenschappelijk verschil D is 5. Stel dat u wordt gevraagd om de 100e-term in die volgorde te vinden. Dan n = 100, en (n-1) = 99. De volledige expliciete formule, met de ingevulde gegevens, is dan

een (100) = 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Dit vereenvoudigt tot 498, wat de 100e looptijd van die sequentie is.

Methode 4 van 4:

De expliciete formule gebruiken om aanvullende informatie te vinden

1. Herschik de expliciete formule om op te lossen voor andere variabelen. Met behulp van de expliciete formule en een eenvoudige algebra, kunt u verschillende stukjes informatie vinden over een rekenkundige sequentie. In zijn oorspronkelijke vorm,

een (n) = een (1) + (n - 1) d

$A (N) = A (1) + (N-1) D$ , De expliciete formule is ontworpen om op te lossen voor een_n en geef je de nde-term van een reeks. Je kunt deze formule echter algebray manipuleren en oplossen voor een van de variabelen.

Stel dat u bijvoorbeeld het einde van een lijst met cijfers hebt, maar u moet weten wat het begin van de reeks was. Je kunt de formule opnieuw rangschikken om je te geven $een (1) = een (n) - (n - 1) d$ ${ displaystyle a (1) = A (n) - (n-1) D}$
Als u het startpunt van een rekenkundige reeks en het eindpunt van de rekenkeuze kent, moet u weten hoeveel termen in de lijst staan, kunt u de expliciete formule opnieuw rangschikken om op te lossen. Dit zou zijn $n = een (n) - een (1) d + 1$ $n = { frac {a (n) -A (1)} {D}} + 1$ .
Als u de basisregels van Algebra wilt beoordelen om dit resultaat te maken, uitchecken Leer algebra of Vereenvoudig algebraïsche uitdrukkingen.

Titel afbeelding Vind een term van een rekenkundige sequentie Stap 13

2. Zoek de eerste looptijd van een reeks. U kunt weten dat de 50e looptijd van een rekenkundige sequentie 300 is, en u weet dat de termen toenemen met 7 (het "gemeenschappelijke verschil"), maar u wilt erachter komen wat de eerste looptijd van de reeks was. Gebruik de herziene expliciete formule die oplost voor A1 om uw antwoord te vinden.

Gebruik de vergelijking

een (1) = (n - 1) d - een (n)

$A (1) = (n-1) D-A (n)$ , en vul de informatie in die je kent. Aangezien u weet dat de 50e term 300 is, dan n = 50, N-1 = 49 en A (n) = 300. Je krijgt ook dat het gemeenschappelijk verschil, D, 7 is. Daarom wordt de formule

een (1) = (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . Dit werkt

343 - 300 = 43

$343-300 = 43$ . De volgorde die je hebt begonnen op 43, en geteld door 7. Daarom ziet het eruit als 43,50,57,64,71,78 ... 293.300.

Titel afbeelding Vind een term van een rekenkundige sequentie Stap 14

3. Zoek de lengte van een reeks. Stel dat je alles weet over het begin en het einde van een rekenkundige reeks, maar je moet erachter komen hoe lang het is. Gebruik de herziene formule

n = een (n) - een (1) d + 1

$n = { frac {a (n) -A (1)} {D}} + 1$ .

Stel dat je weet dat een bepaalde rekenkundige sequentie begint op 100 en toeneemt met 13. U wordt ook verteld dat de laatste termijn 2.856 is. Gebruik de termen A1 = 100, D = 13 en A (n) = 2856 om de lengte van de sequentie te vinden. Plaats deze voorwaarden in de formule om te geven

n = 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Als je dit werkt, krijg je

n = \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , die gelijk is aan 212 + 1, die 213 is. Er zijn 213 termen in die reeks.

Deze sample-sequentie lijkt op 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Waarschuwingen

Er zijn verschillende soorten reeksen van cijfers. Ga er niet aan dat een lijst met cijfers een rekenkundige volgorde is. Controleer altijd ten minste twee paren van termen, of bij voorkeur drie of vier, om het gemeenschappelijk verschil tussen termen te vinden.