Hoe exponentiële functies te differentiëren

Exponentiële functies zijn een speciale categorie van functies die betrekking hebben op exponenten die variabelen of functies zijn. Met behulp van enkele van de basisregels van Calculus kunt u beginnen met het vinden van het derivaat van een basisfuncties zoals $een X$ $a ^ {x}$ . Dit biedt dan een formulier dat u kunt gebruiken voor elke numerieke basis die op een variabele exponent wordt verhoogd. Uitbreiden van dit werk kunt u ook het derivaat van functies vinden waar de exponent zelf een functie is. Ten slotte ziet u hoe u de "Power Tower" wilt onderscheiden, een speciale functie waarin de exponent overeenkomt met de basis.

Stappen

Deel 1 van 4:

Differentiëren van algemene exponentiële functies

1. Begin met een algemene exponentiële functie. Begin met een basis exponentiële functie met behulp van een variabele als de basis. Door het derivaat van de algemene functie op deze manier te berekenen, kunt u de oplossing gebruiken als model voor een volledig gezin van vergelijkbare functies.

$y = een X$ $y = a ^ {{x}}$

2. Neem de natuurlijke logaritme van beide kanten. U moet de functie manipuleren om een standaardderivaat te vinden in termen van de variabele

X

$X$ . Dit begint met het nemen van de natuurlijke logaritme van beide zijden, als volgt:

\ln y = \ln een X

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Elimineer de exponent. Met behulp van de regels van logarithms kan deze vergelijking worden vereenvoudigd om de exponent te elimineren. De exponent in de logaritm-functie kan als volgt worden verwijderd als een meervoudig voor het logaritme:

\ln y = X \ln een

$ln y = x ln a$

4. Differentiëren beide kanten en vereenvoudigen. De volgende stap is om elke kant te differentiëren met betrekking tot

X

$X$ . Omdat

een

$een$ is een constante, dan

\ln een

$ln a$ is ook een constante. Het derivaat van

X

$X$ vereenvoudigt tot 1, en de term verdwijnt. De stappen zijn als volgt:

\ln y = X \ln een

$ln y = x ln a$

d d X \ln y = d d X X \ln een

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a$

\frac{1}{y} d y d X = \ln een d d X X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {DX}} = ln a { frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{y} d y d X = \ln een * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{y} d y d X = \ln een

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

5. Vereenvoudig om op te lossen voor het derivaat. Vermenigvuldig beide zijden door Y om het derivaat te isoleren. Gebruik van basisstappen van algebra, vermenigvuldig beide zijden van deze vergelijking door

y

$y$ . Dit zal het derivaat van isoleren

y

$y$ aan de linkerkant van de vergelijking. Bedenk dat dan

y = een X

$y = a ^ {x}$ , dus vervang die waarde aan de rechterkant van de vergelijking. De stappen zien er als volgt uit:

\frac{1}{y} d y d X = \ln een

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

d y d X = y \ln een

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

d y d X = {een}^{X} \ln een

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a$

6. Het eindresultaat interpreteren. Herinnerend dat de originele functie de exponentiële functie was

y = een X

$y = a ^ {x}$ , Deze oplossing laat zien dat het derivaat van de algemene exponentiële functie is

een X \ln een

$a ^ {x} ln a$ .

Dit kan worden uitgebreid voor elke waarde van

een

$een$ , Zoals in de volgende voorbeelden:

d d X 2^{X} = 2^{X} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

d d X 3^{X} = 3^{X} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

d d X 10^{X} = 10^{X} \ln 10

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Deel 2 van 4:

Verlenging van het bewijs voor het derivaat van E

1. Kies het speciale voorbeeld. De eerdere sectie toonde aan hoe u het algemene geval van een exponentiële functie met een constante als de basis kunt onderscheiden. Selecteer vervolgens het speciale geval waar de basis de exponentiële constante is

e

$e$ .

$e$ $e$ is de wiskundige constante die ongeveer gelijk is aan 2.718.
Selecteer voor deze afleiding de speciale functie $y = e X$ $y = e ^ {x}$ .

2. Gebruik het bewijs van de algemene exponentiële functiederivaat. Recall, uit het voorgaande gedeelte, dat het derivaat van een algemene exponentiële functie

een X

$a ^ {x}$ is

een X \ln een

$a ^ {x} ln a$ . Pas dit resultaat toe op de speciale functie

e X

$e ^ {x}$ als volgt:

y = e X

$y = e ^ {x}$

d y d X = d d X e^{X}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

d y d X = e^{X} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

3. Vereenvoudig het resultaat. Herinner eraan dat de natuurlijke logaritme gebaseerd is op de speciale constante

e

$e$ . Daarom, de natuurlijke logaritme van

e

$e$ is slechts 1. Dit vereenvoudigt het derivaatresultaat als volgt:

d y d X = e^{X} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

d y d X = e^{X} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

d y d X = e^{X}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Het eindresultaat interpreteren. Dit bewijs leidt tot het speciale geval dat het derivaat van de functie

e X

$e ^ {x}$ is dat erg functioneren. Dus:

d d X e^{X} = e^{X}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Deel 3 van 4:

Het vinden van het derivaat van E met een functionele exponent

1. Definieer uw functie. Voor dit voorbeeld vindt u het algemene derivaat van functies die hebben

e

$e$ verhoogd naar een exponent, wanneer de exponent zelf een functie is van

X

$X$ .

Overweeg als voorbeeld de functie $y = e 2 X + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Definieer de variabele u { displaystyle u} $u$ . Deze oplossing gaat de ketenregel van derivaten inhouden. Herinner eraan dat de kettingregel van toepassing is wanneer u één functie hebt,

u (X)

$u (x)$ genest in een andere,

v (X)

$f (x)$ , Zoals je hier hebt. De kettingregel zegt:

d y d X = d y d u * d u d X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

In samenvatting definieert u de exponent als een afzonderlijke functie

u (X)

$u (x)$ .

Voor dit voorbeeld is de exponent de geneste functie

u (X)

$u (x)$ . Dus, voor dit voorbeeld:

y = e u

$y = e ^ {u}$ , en

u = 2 X + 3

$u = 2x + 3$

3. Breng de kettingregel aan. De kettingregel vereist dat u de derivaten van beide functies vindt

y

$y$ en

u

$u$ . Het resulterende derivaat is dan het product van die twee.

De twee afzonderlijke derivaten zijn:

d y d u = d d u e^{u} = e^{u}

${ displaystyle { frac {dy} {du}} = { frac {d} {du}} e ^ {u} = e ^ {u}}$ . (Vergeet niet dat het derivaat van

e X

$e ^ {x}$ is

e X

$e ^ {x}$ .)

d u d X = d d X (2 X + 3) = 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {DX}} (2x + 3) = 2$

Na het vinden van de twee afzonderlijke derivaten, combineer ze ze om het derivaat van de originele functie te vinden:

d y d X = d y d u * d u d X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

d d X e^{2 X + 3} = e^{(2 X + 3)} * 2 = 2 e^{(2 X + 3)}

${ frac {d} {dx}} e ^ {{2x + 3}} = e ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{(2x + 3)}}$

4. Oefen een ander voorbeeld van e { displaystyle e} $e$ met een functionele exponent. Selecteer een ander voorbeeld,

y = e zonde X

$y = e ^ {{ sin x}}$ .

Definieer de geneste functie. In dit geval,

u = zonde X

$u = sin x$ .

Zoek de derivaten van de functies

y

$y$ en

u

$u$ .

d y d u = e^{u}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

d u d X = \cos X

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Combineer met behulp van de kettingregel:

y = e zonde X

$y = e ^ {{ sin x}}$

d y d X = d y d u * d u d X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

d d X e^{zonde X} = e^{u} * \cos X = e^{zonde X} \cos X

${ frac {d} {dx}} e ^ {{ sin x}} = e ^ {u} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x$

Deel 4 van 4:

Het vinden van het derivaat van x

1. Definieer de functie. Voor dit speciale voorbeeld, soms de "Power Tower" genoemd, kies dan de functie die:

$y = X X$ $y = x ^ {x}$

2. Zoek de natuurlijke logaritme van elke kant. Zoals eerder begint de oplossing hier met de natuurlijke logaritme van elke kant van de vergelijking:

\ln y = \ln (X X)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln y = X \ln X

$ln y = x ln x$

3. Neem het derivaat van elke kant van de vergelijking. Aan de rechterkant van deze vergelijking moet u de productregel van derivaten toepassen. Herinner eraan dat de productregel stelt dat als

y = v (X) * g (X)

$y = f (x) * g (x)$ , dan

y ` = v * g^{`} + v^{`} * g

$y ^ {{ prime}} = f * g ^ {{ prime}} + f ^ {{ prime}} * g$ .

\ln y = X \ln X

$ln y = x ln x$

\frac{1}{y} d y d X = X * \frac{1}{X} + 1 * \ln X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = x * { frac {1} {x}} + 1 * ln x$

\frac{1}{y} d y d X = 1 + \ln X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = 1+ ln x$

4. Vermenigvuldig elke kant door y. Isoleer de afgeleide termijn aan de rechterkant door beide zijden van de vergelijking door Y te vermenigvuldigen.