Hoe de omgekeerde van een 3x3-matrix te vinden

Inverse bewerkingen worden vaak gebruikt in algebra om te vereenvoudigen wat anders moeilijk kan zijn. Als een probleem bijvoorbeeld vereist dat u door een fractie verdelen, kunt u zich gemakkelijker vermenigvuldigen met zijn wederzijdse. Dit is een omgekeerde operatie. Evenzo, omdat er geen divisie-operator voor matrices is, moet u vermenigvuldigen met de inverse matrix. Het berekenen van de omgekeerde van een 3x3 matrix met de hand is een vervelende baan, maar de moeite waard om te beoordelen. U kunt ook het inverse vinden met behulp van een geavanceerde grafische rekenmachine.

Stappen

Methode 1 van 3:
De bijzijnmatrix maken om de inverse matrix te vinden
  1. Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 1
1. Controleer de determinant van de matrix. U moet de determinant van de matrix als eerste stap berekenen. Als de determinant 0 is, is uw werk voltooid, omdat de matrix geen omgekeerd heeft. De determinant van matrix M kan symbolisch worden weergegeven als det (m).
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 2
    2. Transponeer de originele matrix. Transpositie betekent weerspiegelen van de matrix over de hoofddiagonaal, of equivalent, het (I, J) TH-element en de (J, I) Th. Wanneer u de voorwaarden van de matrix transponeert, moet u zien dat de hoofddiagonaal (van linksboven naar rechtsonder) ongewijzigd is.
  • Een andere manier om te bedenken om te transponeren is dat u de eerste rij herschrijft als de eerste kolom, de middelste rij wordt de middelste kolom, en de derde rij wordt de derde kolom. Let op de gekleurde elementen in het bovenstaande diagram en zie waar de cijfers van positie zijn gewijzigd.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 3
    3. Zoek de determinant van elk van de 2x2 kleine matrices. Elk item van de nieuw getransponeerde 3x3 matrix is ​​geassocieerd met een overeenkomstige 2x2 "Minor" -matrix. Om de juiste Minor Matrix voor elke term te vinden, markeert u eerst de rij en de kolom van de term waarmee u begint. Dit moet vijf termen van de matrix bevatten. De resterende vier voorwaarden vormen de kleine matrix.
  • In het bovenstaande voorbeeld, als u de kleine matrix van de term in de tweede rij wilt, markeert u de vijf termen die zich in de tweede rij en de eerste kolom bevinden. De resterende vier termen zijn de bijbehorende kleine matrix.
  • Zoek de determinant van elke kleine matrix door de diagonalen en aftrekkingen te vermenigvuldigen, zoals getoond.
  • Zie voor meer informatie over kleine matrices en hun toepassingen Begrijp de basis van matrices.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 4
    4. Maak de matrix van cofactors. Plaats de resultaten van de vorige stap in een nieuwe matrix van cofactors door elk minor Matrix-determinant uit te lijnen met de overeenkomstige positie in de originele matrix. Dus de determinant die u hebt berekend van item (1,1) van de originele matrix, gaat in positie (1,1). U moet het teken van alternerende voorwaarden van deze nieuwe matrix vervolgens omkeren, na het getoonde patroon "Checkerboard".
  • Bij het toewijzen van tekens houdt het eerste element van de eerste rij zijn oorspronkelijke teken. Het tweede element is omgekeerd. Het derde element houdt zijn oorspronkelijke teken. Ga door met de rest van de matrix op deze manier. Merk op dat de (+) of (-) tekens in het schaakborddiagram niet suggereren dat de uiteindelijke termijn positief of negatief moet zijn. Het zijn indicatoren om (+) of omkeren (-) wat het nummer oorspronkelijk had gehad (-).
  • Zie voor een beoordeling van Cofactors Begrijp de basis van matrices.
  • Het uiteindelijke resultaat van deze stap wordt de bijgevoegde matrix van het origineel genoemd. Dit wordt soms aangeduid als de Adjoint Matrix. De aangepaste matrix wordt genoteerd als adj (m).
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 5
    5. Verdeel elke term van de bijbehorende matrix door de determinant. Herinner de determinant van M die u in de eerste stap berekend (om te controleren of het omgekeerde mogelijk was). Je verdiveert nu elke periode van de matrix met die waarde. Plaats het resultaat van elke berekening ter plaatse van de oorspronkelijke term. Het resultaat is het omgekeerde van de originele matrix.
  • Voor de monstermatrix in het diagram is de determinant 1. Daarom resulteert het verdelen van elke looptijd van de bijgewerkte matrix in de bijgewerkte matrix zelf. (Je zult niet altijd zoveel geluk hebben.)
  • In plaats van te delen, vertegenwoordigen sommige bronnen deze stap als vermenigvuldigd met elke term van M door 1 / Det (M). Wiskundig, deze zijn equivalent.
    • Methode 2 van 3:
    Gebruik van lineaire rijreductie om de inverse matrix te vinden
    1. Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 6
    1. Grenzend aan de identiteitsmatrix aan de originele matrix. Schrijf de originele matrix M op, teken een verticale lijn rechts daarvan en schrijf vervolgens de identiteitsmatrix rechts daarvan. Je zou nu moeten hebben wat een matrix lijkt te zijn met drie rijen van zes kolommen elk.
    • Bedenk dat de identiteitsmatrix een speciale matrix is ​​met 1s in elke positie van de hoofddiagonaal van links naar links naar rechts en 0s in alle andere posities. Zie voor een beoordeling van de identiteitsmatrix en zijn eigenschappen, zie Begrijp de basis van matrices.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 7
    2. Voer lineaire rijverminderingsoperaties uit. Uw doel is om de identiteitsmatrix aan de linkerkant van deze nieuw augmented matrix te maken. Naarmate u de rijverminderingsstappen aan de linkerkant uitvoert, moet u consequent dezelfde bewerkingen aan de rechterkant uitvoeren, die begon als uw identiteitsmatrix.
  • Vergeet niet dat rijverminderingen worden uitgevoerd als een combinatie van scalaire vermenigvuldiging en rij-toevoeging of aftrekking, om individuele voorwaarden van de matrix te isoleren. Zie voor een meer volledige beoordeling Rij-verminderen matrices.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 8
    3. Ga door totdat je de identiteitsmatrix vormt. Houd het herhalen van lineaire rijverminderingsbewerkingen totdat de linkerkant van uw Augmented Matrix de identiteitsmatrix (diagonaal van 1s, met andere termen 0) toont. Wanneer u dit punt hebt bereikt, is de rechterkant van uw verticale verdeler de omgekeerde van uw originele matrix.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 9
    4. Schrijf de inverse matrix uit. Kopieer de elementen die nu aan de rechterkant van de verticale verdeler worden weergegeven als de omgekeerde matrix.
    • Methode 3 van 3:
    Een rekenmachine gebruiken om de inverse matrix te vinden
    1. Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 10
    1. Selecteer een rekenmachine met Matrix-mogelijkheden. Eenvoudige 4-functie-rekenmachines kunnen u niet helpen de inverse te vinden. Vanwege het repetitieve aard van de berekeningen kan echter een geavanceerde grafische rekenmachine, zoals de Texas-instrumenten TI-83 of TI-86, het werk aanzienlijk verminderen.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 11
    2. Voer je matrix in de rekenmachine in. Voer eerst de Matrix-functie van uw rekenmachine in door op de MATRIX-toets te drukken, als u er een hebt. Op de Calculators van Texas Instruments moet u mogelijk op 2 Matrix drukken.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 12
    3. Selecteer het submenu bewerken. Om het submenu te bereiken, moet u mogelijk de pijltoetsen gebruiken of de juiste functietoets selecteren bovenaan het toetsenbord van uw rekenmachine, afhankelijk van de lay-out van uw rekenmachine.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 13
    4. Selecteer een naam voor uw matrix. De meeste rekenmachines zijn uitgerust om overal te werken van 3 tot 10 matrices, gelabeld met letters A via J. Kies meestal gewoon [A] om mee te werken. Druk op de ENTER-toets na het maken van uw selectie.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 14
    5. Voer de afmetingen van uw matrix in. Dit artikel is gericht op 3x3-matrices. De rekenmachine kan echter grotere maten behandelen. Voer het aantal rijen in en druk op ENTER en vervolgens het aantal kolommen en voert u in.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 15
    6. Voer elk element van de matrix in. Het calculatorscherm toont een matrix. Als u eerder met de MATRIX-functie werkte, verschijnt de eerdere matrix op het scherm. De cursor markeert het eerste element van de matrix. Typ de waarde van de matrix die u wilt oplossen en voer vervolgens in. De cursor verplaatst automatisch naar het volgende element van de matrix, overschrijft eventuele vorige nummers.
  • Als u een negatief getal wilt invoeren, gebruikt u de negatieve knop van uw rekenmachine (-) en niet de min-toets. De Matrix-functie leest het nummer niet goed.
  • Indien nodig kunt u de pijltjestoetsen van uw rekenmachine gebruiken om rond de matrix te springen.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 16
    7. Stop met de Matrix-functie. Nadat u alle waarden van de matrix hebt ingevoerd, drukt u op de QUIT-toets (of 2 stoppen, indien nodig). Dit zal u van de Matrix-functie verlaten en u terugkeert naar het hoofdscherm van uw rekenmachine.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 17
    8. Gebruik de inverse sleutel om de inverse matrix te vinden. Eerste, open de Matrix-functie en gebruik de knop Namen om het matrix-label te selecteren dat u hebt gebruikt om uw matrix (waarschijnlijk [A]) te definiëren. Druk vervolgens op de inverse sleutel van uw rekenmachine, X-1{ displaystyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Dit kan het gebruik van de 2-knop vereisen, afhankelijk van uw rekenmachine. Uw schermweergave moet worden weergegeven EEN-1{ displaystyle a ^ {- 1}}A ^ {{- 1}}. Druk op ENTER en de inverse matrix moet op uw scherm verschijnen.
  • Gebruik de knop ^ niet op uw rekenmachine om te proberen een ^ -1 in te voeren als afzonderlijke toetsaanslagen. De rekenmachine begrijpt deze bewerking niet.
  • Als u een foutmelding ontvangt wanneer u de inverse sleutel invoert, is de kans groot dat uw originele matrix geen inverse heeft. Misschien wil je teruggaan en de determinant berekenen om erachter te komen.
  • Titel afbeelding Vind de inverse van een 3x3 matrix Stap 18
    9. Converteer je inverse matrix naar exacte antwoorden. De eerste berekening die de calculator u geeft, is in decimale vorm. Dit wordt voor de meeste doeleinden niet als "exact" beschouwd. Je moet de decimale antwoorden op fractionele vorm converteren, indien nodig. (Als je veel geluk hebt, zullen al je resultaten gehele getallen zijn, maar dit is zeldzaam.)
  • Uw rekenmachine heeft waarschijnlijk een functie die de decimalen automatisch naar fracties zal converteren. Bijvoorbeeld, met behulp van de TI-86, voert u de wiskundige functie in en selecteer vervolgens MISC, en vervolgens FRAC en enter. De decimalen verschijnen automatisch als breuken.
  • Titel afbeelding Bereken de totale kosten Stap 1
    10. De meeste grafische rekenmachines hebben ook vierkante beugeltoetsen (op TI-84 zijn 2nd + x en 2nd + -) die kan worden gebruikt om een ​​matrix in te voeren zonder de matrixfunctie te gebruiken. Opmerking: de rekenmachine maakt de matrix niet op totdat de toets Enter / Equals is gebruikt (i.e. alles zal één regel zijn en niet mooi).

    • Video

    Door deze service te gebruiken, kan sommige informatie worden gedeeld met YouTube.

    Tips

    U kunt deze stappen volgen om de inverse van een matrix te vinden die niet alleen nummers maar ook variabelen, onbekenden of zelfs algebraïsche uitdrukkingen bevat.
  • Controleer of uw resultaat accuraat is, welke methode u ook kiest, door vermenigvuldigen M door m. Je zou kunnen kunnen verifiëren dat m * m = m * m = i. Ik ben de identiteitsmatrix, bestaande uit 1s langs de hoofddiagonale en 0s elders. Zo niet, dan heb je ergens een fout gemaakt.
  • Noteer al je stappen omdat het buitengewoon moeilijk is om de omgekeerde van een 3x3-matrix in je hoofd te vinden.
  • Computerprogramma`s bestaan ​​die de inversingen van matrices voor u uitwerken, tot en met de grootte van 30x30 matrices.

    • Waarschuwingen

    Niet alle 3x3-matrices hebben inverses. Als de determinant van de matrix gelijk is aan 0, dan heeft het geen inverse. (Merk op dat in de formule we verdelen door DET (M). Divisie op nul is niet gedefinieerd.)
    Deel in het sociale netwerk:
    Vergelijkbaar