3 manieren om algebraïsche vergelijkingen te factor

In wiskunde, factor is de daad van het vinden van de cijfers of uitdrukkingen die zich vermenigvuldigen om een bepaald aantal of vergelijking te maken. Factoring is een nuttige vaardigheid om te leren met het oog op het oplossen van basisalgebra-problemen, het vermogen tot competent factor wordt bijna essentieel bij het omgaan met kwadratische vergelijkingen en andere vormen van polynomen. Factoring kan worden gebruikt om algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen om het oplossen van eenvoudiger te maken. Factoring kan u zelfs de mogelijkheid bieden om bepaalde mogelijke antwoorden veel sneller te elimineren dan u in staat zou zijn om handmatig op te lossen.

Stappen

Methode 1 van 3:

Factoringnummers en basisalgebraïsche uitdrukkingen

1. Begrijp de definitie van factoring wanneer toegepast op afzonderlijke nummers. Factoring is conceptueel eenvoudig, maar kan in de praktijk een uitdaging blijken te zijn wanneer ze worden toegepast op complexe vergelijkingen. Hierdoor is het het gemakkelijkst om het concept van factoring te benaderen door te beginnen met eenvoudige nummers, ga dan naar eenvoudige vergelijkingen voordat u eindelijk gaat naar meer geavanceerde toepassingen. Een gegeven nummer factoren zijn de cijfers die vermenigvuldigen om dat nummer te geven. De factoren van 12 zijn bijvoorbeeld 1, 12, 2, 6, 3 en 4, omdat 1 x 12, 2 × 6 en 3 × 4 allemaal gelijk zijn aan 12.

Een andere manier om hierover te denken, is dat de factoren van een bepaalde getallen de cijfers zijn waardoor het is Gelijkmatig deelbaar.
Kun je alle factoren van het nummer 60 vinden? We gebruiken het nummer 60 voor een breed scala aan doeleinden (minuten in een uur, seconden in een minuut, enz.) Omdat het gelijkmatig deelbaar is door een vrij breed scala aan cijfers.

De factoren van 60 zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60.

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 2

2. Begrijp dat variabele uitdrukkingen ook kunnen worden verwerkt. Net zoals alleenstaande nummers kunnen worden gefactureerd, worden ook al variabelen met numerieke coëfficiënten in rekening gebracht. Hiertoe vindt u eenvoudig de factoren van de coëfficiënt van de variabele. Weten hoe factorvariabelen nuttig is voor het vereenvoudigen van algebraïsche vergelijkingen waarmee de variabelen deel uitmaken van.

De variabele 12x kan bijvoorbeeld worden geschreven als een product van de factoren van 12 en X. We kunnen 12x schrijven als 3 (4x), 2 (6x), enz., Gebruik van welke factoren van 12 het beste zijn voor onze doeleinden.

We kunnen zelfs gaan wat betreft factor 12x meerdere keren. Met andere woorden, we hoeven niet te stoppen met 3 (4x) of 2 (6x) - we kunnen factor 4x en 6x geven om 3 (2 (2x) en 2 (3 (2x), respectievelijk 3 (2x) te geven. Uiteraard zijn deze twee uitdrukkingen gelijk.

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 3

3. Breng de distributieve eigendom van vermenigvuldiging aan op factor algebraïsche vergelijkingen. Gebruik van uw kennis van het factor van zowel alleenstaande nummers als variabelen met coëfficiënten, kunt u eenvoudige algebraïsche vergelijkingen vereenvoudigen door factoren te vinden die de cijfers en variabelen in een algebraïsche vergelijking gemeen hebben. Meestal, om de vergelijking zo eenvoudig mogelijk te maken, proberen we naar de grootste gemeenschappelijke factor. Dit vereenvoudigingsproces is mogelijk vanwege de distributieve eigendom van vermenigvuldiging, waarin staat dat voor alle nummers A, B en C, A (B + C) = AB + AC.

Laten we een voorbeeldprobleem proberen. Om de algebraïsche vergelijking 12 x + 6 te factor te factor, laten we eerst proberen de grootste gewoonte van 12x en 6 te vinden. 6 is het grootste aantal dat gelijkmatig in zowel 12x als 6 deelt, zodat we de vergelijking kunnen vereenvoudigen tot 6 (2x + 1).

Dit proces is ook van toepassing op vergelijkingen met negatieven en fracties. X / 2 + 4, bijvoorbeeld, kan worden vereenvoudigd tot 1/2 (x + 8), en -7x + -21 kan worden verwerkt tot -7 (x + 3).

Methode 2 van 3:

Factoring quadratische vergelijkingen

1. Zorg ervoor dat de vergelijking in kwadratische vorm is (AX + BX + C = 0). Quadratische vergelijkingen zijn van de vorm AX + BX + C = 0, waarbij A, B en C numerieke constanten zijn en A niet gelijk is aan 0 (merk op kan gelijk 1 of -1). Als u een vergelijking hebt met één variabele (x) die een of meer voorwaarden van X aan het tweede vermogen heeft, kunt u meestal de voorwaarden in de vergelijking verplaatsen met behulp van basisalgebraïsche bewerkingen om 0 aan één kant van gelijkende teken en bijl te krijgen, enz. aan de andere kant.

Laten we bijvoorbeeld de algebraïsche vergelijking bekijken. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 kan worden vereenvoudigd tot x + 6x + 9 = 0, die zich in het kwadratische formulier bevindt.
Vergelijkingen met grotere krachten van X, zoals X, X, enz. kan geen kwadratische vergelijkingen zijn. Het zijn kubieke vergelijkingen, kwartische vergelijkingen, enzovoort, tenzij de vergelijking kan worden vereenvoudigd om deze termen van x boven de kracht van 2 te elimineren.

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 5

2. In kwadratische vergelijkingen waarbij a = 1, factor tot (x + d) (x + e), waarbij D × E = C en D + E = B. Als uw kwadratische vergelijking in de vorm X + BX + C = 0 (met andere woorden, als de coëfficiënt van de X-termijn = 1) mogelijk is, is het mogelijk (maar niet gegarandeerd) dat een relatief eenvoudige snelkoppeling kan worden gebruikt om de vergelijking. Zoek twee cijfers die beide vermenigvuldigen om C te maken en Voeg toe aan maken B. Zodra u deze twee cijfers D en E vindt, plaats ze in de volgende uitdrukking: (x + d) (x + e). Deze twee termen, wanneer ze samen worden vermenigvuldigd, produceren uw kwadratische vergelijking - met andere woorden, zij zijn de factoren van uw kwadratische vergelijking.

Laten we bijvoorbeeld de kwadratische vergelijking x + 5x + 6 = 0 bekijken. 3 en 2 vermenigvuldig samen om 6 te maken en tellen ook op om 5 te maken, zodat we deze vergelijking kunnen vereenvoudigen tot (x + 3) (x + 2).

Lichte variaties op deze basis snelkoppeling bestaan voor kleine variaties in de vergelijking zelf:

Als de kwadratische vergelijking in het formulier X-BX + C staat, is uw antwoord in dit formulier: (x - _) (x - _).

Als het in het formulier X + BX + C staat, ziet u er als volgt uit: (x + _) (x + _).

Als het in het formulier X-BX-C staat, is u antwoord in het formulier (x + _) (x - _).

Opmerking: de cijfers in de lege platen kunnen fracties of decimalen zijn. Bijvoorbeeld, de vergelijking X + (21/2) x + 5 = 0 factoren tot (x + 10) (x + 1/2).

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 6

3. Indien mogelijk, factor door inspectie. Geloof het of niet, voor ongecompliceerde kwadratische vergelijkingen, een van de geaccepteerde middelen van factoring is gewoon om het probleem te onderzoeken, overweeg dan gewoon mogelijke antwoorden totdat u de juiste vindt. Dit is ook bekend als factoring door inspectie. Als de vergelijking in de vorm AX + BX + C en A>1, uw gefactureerde antwoord staat in het formulier (DX +/- _) (EX +/- _), waarbij D en E nul-numerieke constanten zijn die vermenigvuldigen om een te vermenigvuldigen. Ofwel D of E (of beide) kan Wees het nummer 1, hoewel dit niet noodzakelijk is. Als beide 1 zijn, hebt u in wezen de hierboven beschreven snelkoppeling gebruikt.

Laten we een voorbeeldprobleem overwegen. 3x - 8x + 4 lijkt in het begin intimiderend. Echter, zodra we ons realiseren dat 3 slechts twee factoren (3 en 1) heeft, wordt het gemakkelijker, omdat we weten dat ons antwoord in het formulier moet staan (3x +/- _) (x +/- _). In dit geval geeft het toevoegen van een -2 aan beide lege spaties het juiste antwoord. -2 × 3x = -6x en -2 × x = -2x. -6x en -2x Toevoegen aan -8x. -2 × -2 = 4, zodat we kunnen zien dat de gefactureerde voorwaarden tussen haakjes vermenigvuldigen om de oorspronkelijke vergelijking te worden.

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 7

4. Oplossen door het vierkant te voltooien. In sommige gevallen kunnen kwadratische vergelijkingen snel en gemakkelijk worden gefactureerd door een speciale algebraïsche identiteit te gebruiken. Elke kwadratische vergelijking van het formulier X + 2xH + H = (x + H). Dus, als, in uw vergelijking, is uw B-waarde tweemaal de vierkantswortel van uw C-waarde, kan uw vergelijking worden verwerkt (x + (SQRT (C))).

De vergelijking x + 6x + 9 past bijvoorbeeld bij dit formulier. 3 is 9 en 3 × 2 is 6. We weten dus dat de gefactureerde vorm van deze vergelijking (x + 3) (x + 3) of (x + 3) is.

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 8

5. Gebruik factoren om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Ongeacht hoe u uw kwadratische uitdrukking factor factor, als het eenmaal is gefactureerd, kunt u mogelijke antwoorden voor de waarde van x vinden door elke factor gelijk te stellen aan nul en het oplossen. Aangezien u op zoek bent naar waarden van X die uw vergelijking tot gelijke nul, een waarde van x maakt die een van uw factoren gelijke nul is, is een mogelijk antwoord voor uw kwadratische vergelijking.

Laten we terugkeren naar de vergelijking x + 5x + 6 = 0. Deze vergelijking met (x + 3) (x + 2) = 0. Als een van de factoren gelijk is aan 0, is de volledige vergelijking gelijk aan 0, dus onze mogelijke antwoorden voor x zijn de cijfers die (x + 3) en (x + 2) gelijk zijn aan 0. Deze cijfers zijn respectievelijk -3 en -2.

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 9

6. Controleer uw antwoorden - sommige kunnen vreemd zijn! Wanneer u uw mogelijke antwoorden voor x hebt gevonden, sluit u deze aan bij uw oorspronkelijke vergelijking om te zien of ze geldig zijn. Soms, de antwoorden die je vindt niet zorg ervoor dat de oorspronkelijke vergelijking gelijk is aan nul wanneer deze is aangesloten. We noemen deze antwoorden vreemd en negeer ze.

Laten we plug -2 en -3 Inx + 5x + 6 = 0. EERSTE, -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Dit is correct, dus -2 is een geldig antwoord.

Laten we nu proberen -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Dit is ook correct, dus -3 is ook een geldig antwoord.

Methode 3 van 3:

Andere vormen van vergelijkingen

1. Als de vergelijking in het formulier A-B is, factor deze tot (A + B) (A-B). Vergelijkingen met twee variabelenfactor anders dan basiskwartratica. Voor elke vergelijking A-B waarbij A en B niet gelijk is aan 0, de vergelijkingsfactoren voor (A + B) (A-B).

Bijvoorbeeld de vergelijking 9x - 4Y = (3x + 2Y) (3x - 2Y).

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 11

2. Als de vergelijking in het formulier A + 2AB + B is, factor het aan (A + B). Merk op dat, als het Trinomial in de vorm A is-2AB + B, de gefactureerde vorm is iets anders: (A-B).

De vergelijking 4x + 8xy + 4Y kan opnieuw worden geschreven als 4x + (2 × 2 × 2) XY + 4Y. We kunnen nu zien dat het in de juiste vorm is, dus we kunnen met vertrouwen zeggen dat onze vergelijkingsfactoren (2x + 2Y)

Titel afbeelding Factor Algebraïsche vergelijkingen Stap 12

3. Als de vergelijking in de vorm A-B is, factor het aan (A-B) (A + AB + B). Ten slotte draagt het, vermeldt dat kubissie en zelfs hogere orde vergelijkingen kunnen worden, hoewel het factoringproces snel onbegroepd wordt.

Bijvoorbeeld, 8x - 27Y factoren tot (2x - 3Y) (4x + ((2x) (3Y)) + 9Y)

Video.

Door deze service te gebruiken, kan sommige informatie worden gedeeld met YouTube.

Tips

A-B is factorabel, A + B is niet factorbaar.

Onthoud hoe de constanten constanten kunnen helpen - het kan helpen.

Pas op voor fracties in het factoringproces en werk met ze correct en zorgvuldig mee.

Als u een trinomiaal in het formulier X + BX + (B / 2) hebt, is de gefactureerde vorm (X + (B / 2)). (Misschien heb je deze situatie tijdens het voltooien van het plein.)

Vergeet niet dat A0 = 0 (nul-product-onroerend goed).