Hoe de hoek tussen twee vectoren te vinden

Titel afbeelding 384971 Intro

In de wiskunde is een vector elk object dat een definieerbare lengte heeft, bekend als grootte en richting. Omdat vectoren niet hetzelfde zijn als standaardlijnen of vormen, moet u wat speciale formules gebruiken om hoeken tussen hen te vinden.

Stappen

Deel 1 van 2:
De hoek tussen twee vectoren vinden
  1. Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 2
1. Noteer de cosinieformule. Om de hoek θ tussen twee vectoren te vinden, begin met de formule voor het vinden van die hoek`s cosinus. Je kunt hieronder leren over deze formule, of schrijf het gewoon neer:
cosθ = (u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}) / (||u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}}|| ||v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}||)
  • ||u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}}|| middelen "de lengte van vector u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}}."
  • u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}} is het DOT-product (Scalar-product) van de twee vectoren, hieronder uitgelegd.
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 1
    2. Identificeer de vectoren. Noteer alle informatie die u hebt betreffende de twee vectoren. We nemen aan dat u alleen de definitie van de vector hebt in termen van zijn dimensionale coördinaten (ook wel componenten genoemd). Als u al een lengte van een vector kent (de magnitude), kunt u enkele onderstaande stappen overslaan.
  • Voorbeeld: de tweedimensionale vector u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} = (2,2). Vector v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}} = (0,3). Deze kunnen ook worden geschreven als u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} = 2ik + 2j en v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}} = 0ik + 3j = 3j.
  • Terwijl ons voorbeeld tweedimensionale vectoren gebruikt, dekken de instructies onder de dekking van vectoren met een willekeurig aantal componenten.
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 3
    3. Bereken de lengte van elke vector. Beeld een rechter driehoek getrokken uit de X-component van de vector, zijn y-component en de vector zelf. De vector vormt de hypotenuse van de driehoek, dus om zijn lengte te vinden, gebruiken we de Pythagorese stelling. Zoals het blijkt, wordt deze formule gemakkelijk uitgebreid tot vectoren met een willekeurig aantal componenten.
  • ||u|| = u1 + u2. Als een vector meer dan twee componenten heeft, ga dan gewoon door met toevoegen + u3 + u4 + ...
  • Daarom, voor een tweedimensionale vector, ||u|| = √ (u1 + u2).
  • In ons voorbeeld, ||u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}}|| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}|| = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 4
    4. Bereken het puntproduct van de twee vectoren. Je hebt waarschijnlijk al geleerd deze methode om vectoren te vermenigvuldigen, ook wel de scalair product.
    Om het puntproduct te berekenen in termen van componenten van de vectoren, vermenigvuldig de componenten in elke richting samen, voeg dan alle resultaten toe.
    Zie tips voordat u doorgaat voordat u doorgaat voor Computer Graphics.

    Voorbeeld van DOT-product vinden
    In wiskundige termen, u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}} = u1v1 + u2v2, waar u = (u1, u2). Als uw vector meer dan twee componenten heeft, blijft u eenvoudig + u toevoegen3v3 + u4v4...
    In ons voorbeeld, u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}} = u1v1 + u2v2 = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Dit is het dotproduct van vector u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} en v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}.

  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 5
    5. Sluit uw resultaten aan in de formule. Onthouden,
    cosθ = (u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}) / (||u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}}|| ||v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}} ||).
    Nu kent u zowel het DOT-product als de lengtes van elke vector. Voer deze in deze formule in om de cosinus van de hoek te berekenen.

    Cosinus vinden met DOT-product en vectorlengtes
    In ons voorbeeld, cosθ = 6 / (2√2

    3) = 1 / √2 = √2 / 2.

  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 6
    6. Zoek de hoek op basis van de cosinus. U kunt de Arcco`s of COS-functie op uw rekenmachine gebruiken
    Zoek de hoek θ van een bekende COS θ waarde.
    Voor sommige resultaten kan u mogelijk de hoek uitwerken op basis van de eenheidscirkel.

    Een hoek met cosinus vinden
    In ons voorbeeld, cosθ = √2 / 2. Invoeren "Arccos (√2 ​​/ 2)" in je rekenmachine om de hoek te krijgen. Of vind de hoek θ op de cirkel van de eenheid waar Cosθ = √2 / 2. Dit is waar voor θ = /4 of 45º.
    Alles bij elkaar plaatsen, de laatste formule is:
    hoek θ = arcosine ((u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}) / (||u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}}|| ||v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}||))

    • Deel 2 van 2:
    De hoekformule definiëren
    1. Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 7
    1. Begrijp het doel van deze formule. Deze formule is niet afgeleid van bestaande regels. In plaats daarvan is het gecreëerd als een definitie van het puntproduct van twee vectoren en de hoek tussen hen. Dit besluit was echter niet willekeurig. Met een kijkje terug naar Basic Geometry, kunnen we zien waarom deze formule resulteert in intuïtieve en nuttige definities.
    • De onderstaande voorbeelden gebruiken tweedimensionale vectoren omdat dit het meest intuïtief zijn om te gebruiken. Vectoren met drie of meer componenten hebben eigenschappen die zijn gedefinieerd met de zeer vergelijkbare, algemene geval Formule.
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 8
    2. Bekijk de wet van Cosines. Neem een ​​gewone driehoek, met hoek θ tussen zijkanten A en B en tegenover elkaar. De wet van cosines verklaart dat C = A + B -2ABcos(θ). Dit is vrij gemakkelijk afgeleid van basisgeometrie.
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 9
    3. Sluit twee vectoren aan om een ​​driehoek te vormen. Schets een paar 2D-vectoren op papier, vectoren een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} en b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}}, met hoek θ tussen hen. Teken een derde vector tussen hen om een ​​driehoek te maken. Met andere woorden, tekenen vector c→{ displaystyle { ingeschreven {c}}}{ ingeschreven {c}} zoals dat b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} + c→{ displaystyle { ingeschreven {c}}}{ ingeschreven {c}} = een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}}. Deze vector c→{ displaystyle { ingeschreven {c}}}{ ingeschreven {c}} = een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} - b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}}.
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 10
    4. Schrijf de wet van Cosines voor deze driehoek. Steek de lengte van onze "Vector driehoek" zijden in de wet van cosines:
  • ||(A - B)|| = ||een|| + ||b|| - 2||een|| ||b||cos(θ)
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 11
    5. Schrijf dit met DOT-producten. Vergeet niet dat een DOT-product de vergroting is van de ene vector die op een andere wordt geprojecteerd. Het puntproduct van een vector met zichzelf vereist geen projectie, omdat er geen verschil inrichting is. Dit betekent dat een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} = ||een||. Gebruik dit feit om de vergelijking te herschrijven:
  • (een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} - b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}}) • (een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} - b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}}) = een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} + b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} • b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} - 2||een|| ||b||cos(θ)
  • Titel afbeelding Vind de hoek tussen twee vectoren Stap 12
    6. Herschrijf het in de vertrouwde formule. Breid de linkerkant van de formule uit en vereenvoudig vervolgens om de formule te bereiken die wordt gebruikt om hoeken te vinden.
  • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} - een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} - b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} + b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} • b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} = een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} + b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} • b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} - 2||een|| ||b||cos(θ)
  • - een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} - b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} = -2||een|| ||b||cos(θ)
  • -2 (een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}}) = -2||een|| ||b||cos(θ)
  • een→{ displaystyle { ingrijping {a}}}{ ingrijping {a}} • b→{ displaystyle { ingrijping {b}}}{ ingrijping {b}} = ||een|| ||b||cos(θ)

    • Video

    Door deze service te gebruiken, kan sommige informatie worden gedeeld met YouTube.

    Tips

    Gebruik deze formule voor een snelle plug en los, gebruik deze formule voor een paar tweedimensionale vectoren: cosθ = (u1 • v1 + u2 • v2) / (√ (u1 • u2) • √ (v1 • v2)).
  • Als u aan een computergraphics-programma werkt, geeft u waarschijnlijk alleen om de richting van de vectoren, niet hun lengte. Neem deze stappen om de vergelijkingen te vereenvoudigen en uw programma te versnellen:
  • Normaliseer elke vector Dus de lengte wordt 1. Om dit te doen, deelt u elke component van de vector door de lengte van de vector.
  • Neem het puntproduct van de genormaliseerde vectoren in plaats van de originele vectoren.
  • Sinds de lengte gelijk 1, laat dan de lengte termen uit uw vergelijking. Je laatste vergelijking voor de hoek is Arccos (u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}).
  • Op basis van de cosinieformule kunnen we snel vinden of de hoek acuut of stom is. Begin met cosθ = (u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}} • v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}) / (||u→{ displaystyle { ingrijping {u}}}{ ingrijping {u}}|| ||v→{ displaystyle { ingrijping {v}}}{ ingrijping {v}}||):
  • De linkerkant en de rechterkant van de vergelijking moeten hetzelfde teken hebben (positief of negatief).
  • Aangezien de lengten altijd positief zijn, moet COSθ hetzelfde teken hebben als het puntproduct.
  • Daarom, als het dotproduct positief is, is COSθ positief. We zijn in het eerste kwadrant van de eenheidscirkel, met θ < π / 2 of 90º. De hoek is acuut.
  • Als het puntproduct negatief is, is COSθ negatief. Wij zijn in het tweede kwadrant van de eenheidscirkel, met π / 2 < θ ≤ π of 90º < θ ≤ 180º. De hoek is stomp.
    • Deel in het sociale netwerk:
    Vergelijkbaar